Teoría de categoría de Lusternik-Schnirelman adaptada al marco de las variedades foliadas

Abstract

El objetivo de este trabajo es desarrollar una teoría de categoría de Lusternik-Schnirelman adaptada al marco de las variedades foliadas, Se introducen los conceptos de categoría tangente y categoría transversa de una foliación, que generalizan la noción clásica de categoría LS de una variedad. Se prueba que ambas categorías son invariantes de homotopía para homotopías compatibles con la foliación (homotopía integrable y foliada), y se comparan con las categorías LS de las hojas y del espacio de hojas, así como con la categoría equivariante y la categoría fibrada. Se da también una acotación en términos de invariantes cohomológicos asociados a la foliación, y se calculan en varios casos particulares de interés. Finalmente, se da una generalización del resultado original de Lusternik y Schnirelman acerca del número de puntos críticos de una función diferenciable en una variedad, probándose que bajo ciertas hipótesis (que se verifican por ejemplo para una foliación compacta Hausdorff), la categoría transversa es una cota inferior del número de hojas críticas de una función básica. El mismo resultado se obtiene para las foliaciones de codimensión uno.