JESUS ANTONIO
ALVAREZ LOPEZ

Na miña tese de doutoramento e posteriormente, cunha bolsa Fulbright/MEC, estudei a sucesión espectral das foliacións riemannianas (aquelas de dinámica transversal ríxida), mostrando un comportamento similar á sucesión espectral dun fibrado. Tamén colaborei no seu uso para caracterizar a existencia dunha métrica coa que as follas teñen curvatura media nula. Posteriormente, o meu traballo evolucionou en varias direccións, con moitos colaboradores. En primeiro lugar, utilizouse unha análise profunda para demostrar que o fluxo de calor ao longo das follas das foliacións riemannianas conserva a diferenciabilidade na variedade ambiente durante un tempo infinito, producindo unha descomposición de Hodge ao longo das follas que conserva a diferenciabilidade na variedade ambiente, unha fórmula de traza para fluxos foliados simples sen puntos fixos, e unha descrición da secesión espectral en termos de límites adiabáticos. Todo isto sorprendeu polo uso de operadores que só son elípticos ao longo das follas. Este traballo atraeu moito interese, pero facía falta máis xeneralidade. Despois de resolver moitas dificultades, estendemos a fórmula da traza a fluxos foliados simples con puntos fixos (a foliación non é riemanniana). Neste logro utilizáronse moitos ingredientes novos, como espazos de distribucións conormais, b-cálculo, funcións zeta e invariantes de calor. A este proxecto dediquei boa parte do meu traballo durante os últimos 20 anos. Na segunda dirección, estendemos moitas propiedades das foliacións riemannianas a espazos foliados equicontinuos. Isto desenvolveuse no estudo da xeometría asintótica das follas, as relacións turbulentas, coloracións de grafos e as accións de Cantor. Na terceira dirección, estendemos a proba analítica de Witten das desigualdades de Morse a espazos estratificados, utilizando o oscilador harmónico de Dunkl. Na cuarta dirección, algunhas das técnicas empregadas coas foliacións riemannianas aplicáronse ás foliacións simplecticas. Recentemente, comecei tres novas colaboracións. Unha delas consiste en mostrar a existencia de solucións para algúns EDP hipoelípticos altamente non lineais en grupos de Lie estratificados. Outra é mostrar que existe unha perturbación do fluxo de calor ao longo das follas para foliacións transversalmente afines que manteñen a diferenciabilidade transversal durante un tempo infinito. E outra sobre variantes do fluxo de Kähler-Ricci torcido. Ademais desta variedade de direccións, conseguíronse bastantes resultados relevantes que foron publicados en revistas científicas de gran prestixio, como Amer. J. Math. 111 (1989) e 123 (2001), Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), J. Differential Geom. 10 (1993), Ann. Global Anal. Geom. 10 (1992), J. Funct. Anal. 99 (1991), Geom. Función. Anal. 10 (2000), Compositio Math. 125 (2001).