Módulos yetter-drinfeld sobre álgebras de hopf trenzadas débiles

Resumo

En la memoria se desarrolla una teoría general de módulos Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de Hopf trenzada débil en una categoría monoidal donde todo idempotente rompe. La teoría se desarrolla de tal modo que se recuperan como casos particulares, los resultados obtenidos para álgebras de Hopf por Radford y posteriormente extendidos por diversos autores al caso de álgebras de Hopf débiles en categorías simétricas. También se proporcionan ejemplos de estructuras de módulo Yetter-Drinfeld que las teorías anteriores no abarcan. Por otra parte, se estudia el concepto de proyección sobre un álgebra de Hopf trenzada débil y se obtiene la versión categórica del teorema de proyección de Radford para álgebras de Hopf débiles en categorías trenzadas, extendiendo los resultados dados en el contexto simétrico. Los contenidos se organizan en cinco capítulos. El primero contiene un repaso sobre categorías monoidales y temas relacionados con las álgebras de Hopf trenzadas débiles, incluyendo además un resultado nuevo sobre las álgebras opuesta y coopuesta. En el segundo capítulo introducimos la noción de operador débil como una cuádrupla de morfismos verificando ciertas axiomas y estudiamos sus propiedades fundamentales. En el tercer capítulo damos la definición de módulo Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de Hopf trenzada débil como un módulo-comódulo verificando ciertas condiciones de compatibilidad que involucran a un operador débil, y la de morfismo entre tales objetos. Posteriormente, usando una caracterización alternativa de los módulos Yetter-Drinfeld, probamos que la clase de tales objetos junto con los morfimos entre ellos constituyen una categoría monoidal no estricta. Trabajando con la acción y la coacción adjuntas, damos dos ejemplos concretos de módulos Yetter-Drinfeld en el contexto general. En el cuarto capítulo definimos diferentes categorías de módulos Yetter-Drinfeld que surgen de modo natural al variar el lado por el que se consideran las estructuras de (co)módulo ó al deformar el álgebra base, y demostramos que todas ellas son equivalentes. El quinto capítulo se dedica al estudio de las proyecciones sobre álgebras de Hopf trenzadas débiles. Relacionado con esto, proporcionamos otro ejemplo de módulo Yetter-Drinfeld en una categoría monoidal, explicamos la relación entre las nociones de operador Yang-Baxter débil y entrelazamiento débil inversible en términos de operadores débiles, y aplicando algunos resultados obtenidos en los capítulos anteriores al caso particular de las álgebras de Hopf débiles en categorías trenzadas, probamos que la categoría de proyecciones sobre un algebra de Hopf débil en una categoría trenzada es isomorfa a la categoría de álgebras de Hopf en la categoría de módulos Yetter-Drinfeld sobre el álgebra de partida.