Estudio cohomológico de flujos riemannianos

Abstract

Una acción diferenciable de R sobre una variedad M induce una foliación F, y estamos interesados en relacionar la cohomología de de Rham de M y la del espacio cociente M/F o cohomología básica, que ha demostrado ser un invariante adaptado y rico. En el caso de una acción de circulo S1 esta relación está dada por la clásica sucesión exacta de Gysin. En esta memoria se extiende la sucesión de Gysin al caso de flujos riemannianos, es dicir, acciones de R que inducen una foliación riemanniana. Tras un primer capítulo de material preliminar sobre foliaciones, se aborda en el capítulo 2 el caso de un flujo riemanniano regular. En el tercer capítulo se obtiene la sucesión de Gysin para flujos riemannianos singulares, es decir, con puntos fijos. En ambos casos, se obtiene además una caracterización geométrica de la nulidad de la clase de Euler. En el caso singular se construye la sucesión de Gysin utilizando la cohomología básica de intersección, y se prueba que esta cohomología satisface la dualidad de Poincaré. Fundamentalmente se utilizan técnicas de tipo Mayer-Vietoris, usando fuertemente la estructura local de los flujos. En el capítulo 4 se realiza una aproximación a los flujos riemannianos singulares desde la cohomología equivariante. Se propone un modelo (modelo de Gysin) para calcular la cohomología equivariante de flujos isométricos y se prueba un teorema de localización para flujos riemannianos singulares.