Quadratic Lie algebras. Algorithms and (de)constructions

Resumen

En esta tesis estudiamos las álgebras de Lie cuadráticas, con especial interés en aquellas que son nilpotentes de índice 2, dando métodos algorítmicos para construir una amplia gama de ejemplos. Después de una introducción y una visión general de los resultados conocidos sobre este tema, comenzamos con un proceso de deconstrucción que nos permite reducir el estudio de las álgebras de Lie cuadráticas generales a tan solo aquellas nilpotentes. Esta reducción se obtiene deshaciendo sucesivas doble extensiones sobre cocientes, una vez es conocida la ubicación de algunos ideales importantes. La variedad de álgebras de Lie cuadráticas nilpotentes se puede establecer a partir de las álgebras de Lie nilpotentes libres y sus formas bilineales invariantes. Pero hacerlo es difícil, así que nos enfocamos en el caso donde el índice de nilpotencia es 2. Empezamos presentando un nuevo método para obtener dichas álgebras empleando técnicas de álgebra multilineal, para luego demostrar que este nuevo método es equivalente a las dos técnicas clásicas principales: dobles extensiones y T∗ -extensiones. En combinación con trivectores, terminamos dando una clasificación de estas álgebras hasta dimensión 17. Una vez cubierto el caso nilpotente de índice 2, comenzamos la construcción álgebras de Lie cuadráticas más grandes y generales. Esto se logra mediante dobles extensiones usando sus derivaciones antisimétricas, que se pueden describir a través de la propiedad universal para álgebras de Lie nilpotentes libres. Después, estudiamos la familia de álgebras de Lie cuadráticas con un único ideal maximal: las álgebras locales. Estas tienen propiedades estructurales sólidas e incluyen a la conocida familia de álgebras osciladoras reales, que son las álgebras cuadráticas asociadas a formas métricas Lorentzianas. La siguiente parte está dedicada a la estructura que presentan los ideales de álgebras de Lie cuadráticas, especialmente aquellas cuyos ideales forman una cadena por inclusión. Finalmente, explicamos cómo usar un paquete computacional que hemos desarrollado. Este software está respaldado por los resultados de la tesis e incluye muchas herramientas utilizadas a lo largo de esta memoria.