Irrationality and transcendence in the 18th and 19th centuries. A contextualized study of J.H. Lambert's Mémoire (1761/1768)

Resumo

El objetivo de esta tesis es realizar un estudio histórico del desarrollo de los números irracionales y del concepto de trascendencia en la matemática de los siglos XVIII y XIX. Si bien son muchos los autores que se analizan, este estudio tiene en Johann Heinrich Lambert (1728_1777) y su Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques (1761/1768) a sus principales protagonistas. La principal aportación _Parte II de la tesis_ consiste en la primera traducción anotada de este trabajo _particularmente conocido por incluir la primera demostración de la irracionalidad de __, un análisis que se acompaña con un estudio del propio autor. La investigación de este trabajo y de su autor no se hace de forma aislada, sino que se contextualiza analizando el desarrollo de los llamados irracionales _especiales_ en dos siglos marcadamente diferentes, el XVIII y el XIX, hasta culminar en las teorías completas de los números reales y en los ya números _trascendentes_. En la Parte I de la tesis, se analiza la situación antes de Lambert y principalmente en el siglo XVIII _un análisis en el que Euler tiene un papel relevante_, pero echando una breve mirada hacia las últimas décadas del siglo XVI así como al siglo XVII, marco temporal del origen y desarrollo de los métodos analíticos, claves para el avance hacia una comprensión profunda del número irracional. Finalmente, la Parte III arroja luz sobre la influencia que este trabajo de Lambert pudo tener en las generaciones posteriores, y más en general, acerca de la manera en la que el número irracional pasó de ser una mera cantidad (imagen clásica) a un objeto abstracto definido a través de objetos infinitos (imagen moderna). Este conocimiento más profundo del número irracional se refleja particularmente en las primeras demostraciones de trascendencia, y en este sentido un personaje clave es Joseph Liouville (1809_1882), no solo por sus propias aportaciones, sino por su enorme influencia a través de su Journal, de sus clases, y de la red de contactos internacional de la que gozaba, siendo Dirichlet un caso especialmente distinguido. En gran medida, la influencia de Liouville, que directa o indirectamente recibe la influencia de Lambert, es la responsable de los famosos resultados de Hermite y Lindemann sobre la trascendencia de e y de _, concepto _el de trascendencia_ que no se empezará a utilizar en su significado moderno de una forma sistemática hasta las últimas décadas del siglo XIX, principalmente gracias al trabajo de Dedekind.