Álgebras de Lie graduadas y estructuras de segundo orden asociadas

Abstract

El trabajo realizado en la presente memoria se engloba dentro de la teoría general de G-estructuras y del estudio de los fibrados de referencias no holonómicas y semi-holonómicas de segundo orden sobre una variedad ;. Sea L/L0 un espacio homogéneo semisimple llano asociado a un álgebra de Lie semisimple graduada, y sea G0 el grupo lineal de isotropía L/L0. Las principales aportaciones de la tesis son: Se caracterizan las referencias no holonómicas de segundo orden como referencia del fibrado de referencias definidas por bases de espacios horizontales, obteniéndose una subvariedad regular del fibrado del fibrado de referencias de M isomorfa al fibrado de referencias no holonómicas de segundo orden de M. Identificamos los fibrados de referencias semi-holonómicas y no holonómicas de segundo orden con subfibrados abiertos de los fibrados tangentes de Grassmann y Stiefel del fibrado de referencias de M. Se demuestra que los fibrados de referencias no holonómicas y semi-holonómicas se pueden obtener extendiendo el grupo de estructura del fibrado de referencias holonómicas de segundo orden a sus correspondientes grupos de estructura. Se da la definición de conexiones lineales equivalentes no necesariamente adaptadas y se introducen algunas propiedades de la equivalencia de conexiones y del tensor de Tanaka. Se demuestra que cada clase de conexiones lineales adaptadas a una G0-estructura P determina una única L0-estructura semi-holonómica de segundo orden Q que se proyecta sobre P, obteniéndose un L0-fibrado asociado y generalizando así una teoría de Ochiai para conexiones adaptadas a P sin torsión. La teoría aquí expuesta es plenamente equivalente a la de Tanaka, pues se demuestra que dos L0-fibrados asociados a la estructura P son isomorfos. Se desarrolla una teoría general de estructuras de Cartan de tipo graduado integrables y llanas sobre variedades homogéneas, que incluye como caso particular la teor