Free evolution of the hyperboloidal initial value problem in spherical simmetry

Resumen

La presente tesis trata sobre la aplicación de métodos de compactificación conformal en la resolución numérica de las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General. Estas ecuaciones forman un sistema complejo de ecuaciones diferenciales con derivadas parciales que sólo puede ser resuelto analíticamente para espacio-tiempos altamente simétricos. Espacio-tiempos más generales necesitan métodos numéricos para su resolución. En Relatividad General, cantidades físicas fundamentales como la energía total o el flujo de radiación sólo pueden ser definidas inequívocamente en la región asintótica del espacio-tiempo, lo que requiere el tratamiento numérico de regiones infinitas. El enfoque tradicional en códigos de Relatividad Numérica se basa en foliaciones espaciales cortadas por un contorno temporal artificial y cuyos datos se extrapolan al infinito. El objetivo de esta tesis es continuar con el desarrollo de una estrategia alternativa que resuelva de forma efectiva las ecuaciones de Einstein para espacio-tiempos que incluyan sistemas radiantes aislados y que permita calcular la señal de radiación sin aproximaciones. Siguiendo una idea de Penrose, en lugar del espacio-tiempo físico se utiliza otro relacionado con el anterior mediante un re-escalamiento conformal. En este espacio-tiempo re-escalado, los límites hacia el infinito se sustituyen por geometría diferencial local y las cantidades físicas observables pueden ser evaluadas directamente. Para calcular la radiación conviene seccionar el espacio-tiempo en foliaciones hiperboloidales, que son foliaciones espaciales suaves que alcanzan el infinito nulo futuro, el “lugar” del espacio-tiempo al que llegan los rayos de luz. Entre las ventajas de utilizar foliaciones hiperboloidales está el no requerir condiciones de contorno, puesto que el infinito nulo futuro es una superficie nula entrante y no permite el acceso de información desde el exterior. El precio a pagar es que las ecuaciones de Einstein re-escaladas son singulares en el infinito y necesitan ser regularizadas. Además, la geometría de fondo no trivial de las foliaciones hiperboloidales hace las ecuaciones de evolución propensas a inestabilidades continuas. Como primer paso para desarrollar algoritmos numéricos que traten el problema de valor inicial hiperboloidal para espacio-tiempos con campos dinámicos fuertes, la labor numérica de esta tesis se restringe a simetría esférica. Dado que la regularización en la dirección radial es común a simetría esférica y al caso tridimensional, se espera que los resultados obtenidos aquí sean aplicables, al menos en parte, al caso completo. Tomando como base formulaciones libres estándard de la Relatividad General, específicamente las ecuaciones BSSN (Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura) y las ecuaciones Z4, se describirá la derivación de sus expresiones en simetría esférica, así como el cálculo de datos iniciales apropiados sobre la foliación hiperboloidal dada por una foliación con curvatura media constante. Un aspecto crítico es el tratamiento de las condiciones de gauge: se explicarán los requisitos específicos para el problema de valor inicial hiperboloidal, como “scri-fixing” o el gauge conformal preferente, así como la adaptación de condiciones de gauge comúnmente usadas actualmente. Como se esperaba, la implementación numérica fue difícil de estabilizar, pero mediante una transformación de variables y la inclusión de un término de amortiguación de ligadura, finalmente dio buenos resultados. Se han realizado simulaciones estables de las ecuaciones de Einstein junto con un campo escalar sin masa, con datos iniciales regulares y de campo fuerte. Perturbaciones pequeñas de los datos iniciales regulares son estables para siempre, mientras que perturbaciones más grandes del campo escalar conllevan la formación de un agujero negro. Los resultados muestran que los datos iniciales de una “trumpet” de Schwarzschild se desvían lentamente de los valores estacionarios esperados, pero el efecto en el caso de perturbaciones pequeñas es suficientemente lento como para poder observar las colas del campo escalar.