Álgebras de Leibniz de longitud máxima

Resumen

Las álgebras no asociativas aparecen a principios del siglo XX como consecuencia del desarrollo de la Mecánica Cuántica. Pascual Jordan, John von Neumann y Eugene Wigner fueron los primeros en introducir este tipo de álgebras, concretamente las álgebras de Jordan, en 1934 y posteriormente aparecen las álgebras de Lie y las de Leibniz, estas últimas introducidas por Jean¿Louis Loday en 1993 en su estudio de homología cíclica [22]. Las álgebras de Leibniz son la generalización de las de Lie, las cuales han jugado un papel fundamental en los últimos años por sus aplicaciones en numerosas ramas de la Física y las Matemáticas. En la actualidad, la teoría de las álgebras de Leibniz ha sido intensamente estudiada y muchos resultados de las álgebras de Lie han sido extendidos para el caso de las de Leibniz. Entre ellos, cabe destacar el Teorema de Levi¿Malcev y el Teorema de Engel. El análogo al Teorema de Engel para las álgebras de Leibniz fue probado por Ayupov y Omirov en [3] y unos años más tarde por Patsourakos en [20]. Este teorema da una caracterización de las álgebras de Leibniz nilpotentes a través de su operador multiplicación a derecha. Barnes da en 2011 una prueba más sencilla de este teorema en [4]. El teorema de Levi¿Malcev para álgebras de Leibniz ha sido recientemente estudiado por Barnes en [5]y prueba que cualquier álgebra de Leibniz finito dimensional sobre un cuerpo de característica cero, se descompone como suma directa de álgebras resolubles y semisimples. Las álgebras semisimples pueden ser descritas a partir de las simples que ya han sido estudiadas, por tanto el problema se reduce a analizar las resolubles. Gracias a este teorema, la clasificación de las álgebras de Leibniz resolubles con restricciones en el nilradical se hace ahora abordable, dando lugar a interesantes artículos como los realizados por Casas, Ladra, Omirov y Karimjanov ([14]y [15]). El primer problema que se plantea al estudiar cualquier estructura algebraica es el de su clasificación, salvo isomorfismos. Por ejemplo, el estudio de la clasificación de familias de álgebras no asociativas nilpotentes suele ser de una extraordinaria complejidad. Así, la clasificación de las álgebras de Lie (y por extensión, las de Leibniz) nilpotentes se antoja imposible. En los últimos años se ha dedicado bastante esfuerzo a la clasificación de las álgebras de Leibniz, así autores como Albeverio, Ayupov, Casas, Gómez, Omirov, Rakhimov y otros han obtenido resultados relevantes en este campo (ver por ejemplo [1], [2], [6],[9], [13], [16] y [21]). La gran dificultad de clasificar álgebras de Leibniz nilpotentes obliga a seleccionar subfamilias relevantes cuyo estudio pueda ser abordado, como son las p¿filiformes y las graduadas naturalmente. Sin más que generalizar la definición dada por Cabezas, Gómez y Jiménez¿Merchán en [8], se definen las álgebras de Leibniz p¿filiformes como aquellas que tienen sucesión característica (n¿p,1,¿,1), siendo n la dimensión del álgebra. Además, es interesante centrar nuestro estudio en las álgebras graduadas naturalmente pues su conocimiento nos aporta información relevante sobre su estructura. Loday estudió las álgebras de Leibniz en relación a las propiedades de homología cíclica y homología de Hochschild de álgebras de matrices. Así, son numerosos los artículos sobre álgebras de Leibniz que se dedican a estudiar problemas homológicos, como por ejemplo [11], [13], [16] y [17]. Aparece así una familia de gran importancia, las álgebras de Leibniz de longitud máxima. La longitud de un álgebra L es el número de subespacios de la graduación conexa más "larga" posible. Cuanto más próxima es la longitud a la dimensión de un álgebra, más fácil resulta el estudio de ciertas propiedades cohomológicas. Por esta razón, una interesante línea a seguir es el estudio de familias de álgebras cuya longitud sea máxima, es decir, igual a la dimensión del álgebra. La clave de la homología y la cohomología desde el punto de vista matemático es que los grupos homológicos y cohomológicos son relativamente sencillos de calcular. Los trabajos realizados hasta ahora sobre álgebras de longitud máxima, abarcan el estudio de las álgebras de Leibniz p¿filiformes con p perteneciente a [0,2]. Más concretamente, el caso de Lie filiforme se puede consultar en [18], mientras que el estudio de Lie 2¿filiforme se da en [22]; la clasificación de las álgebras nulfiliformes de Leibniz no de Lie de longitud máxima aparece en [2] y por último, el estudio de las filiformes y 2¿filiformes de Leibniz no de Lie está en [6]. El objetivo principal de esta memoria es completar y generalizar los resultados mostrados en líneas anteriores, dando la clasificación de las álgebras de Leibniz ndimensionales p¿filiformes de longitud máxima, con n y p genéricos. Para poder abordar el caso más general, el de las álgebras p¿filiformes, estudiamos en los capítulos 2 y 3 los casos casifiliformes y 3¿filiformes respectivamente, cerrando así el estudio de longitud máxima de las álgebras de Leibniz p¿filiformes, con p en [0,3] y las casifiliformes completas. Se determina así un proceso algorítmico y las técnicas necesarias para abordar el caso más complejo. La estructura de los siguientes tres capítulos es similar. Resulta clave para la clasificación de las álgebras de Leibniz consideradas en éstos partir del esqueleto de las mismas, es decir, de las álgebras graduadas naturalmente asociadas. Éstas dan una información relevante acerca de la estructura de las álgebras que las contienen, simplificando además el cálculo de las constantes de estructura. El siguiente paso común y fundamental para el desarrollo de la memoria, es la elección de una adecuada base homogénea y adaptada del álgebra. En el segundo capítulo se cierra el estudio de las álgebras de Leibniz casifiliformes de longitud máxima. Nos centraremos en las álgebras nilpotentes de sucesión característica (n¿2,2), pues las 2¿filiformes ya han sido clasificadas en [6] y [22]. En este capítulo se han obtenido 4 familias de álgebras. En el capítulo siguiente se estudian las álgebras de Leibniz 3¿filiformes de longitud máxima, obteniendo dos álgebras y una familia de álgebras. En el capítulo 4 se aborda el estudio de longitud máxima de las álgebras p¿filiformes, siendo p mayor o igual a 4 y genérico. Nos restringimos al estudio de las álgebras obtenidas al extender las álgebras de Lie n¿dimensionales p¿filiformes graduadas naturalmente, obteniendo que no existe ningún álgebra en este caso. En el último capítulo se estudian propiedades geométricas de las álgebras encontradas en los capítulos anteriores. Para ello es fundamental determinar las correspondientes álgebras de derivaciones, Der(L), para a partir de ellas, describir el primer espacio de cohomología de cada álgebra. La determinación del álgebra Der(L) es, en general, muy laboriosa pero en nuestro caso se simplifica hasta hacerse abordable, por admitir las álgebras aquí consideradas una graduación conexa con el mayor número de subespacios . En esta línea hay trabajos realizados, como [7], [10], [11] y [23]. Parece además razonable ayudarnos de técnicas computacionales a lo largo del estudio, como se hace, por ejemplo, en [9], [12] y [19]. Diseñamos dos algoritmos implementados en el software Mathematica, el primero determinará si dos álgebras son isomorfas o no y el segundo, calculará una base y la dimensión del espacio de derivaciones de un álgebra de longitud máxima. Estos algoritmos se aplicarán a las álgebras objeto de nuestro estudio en dimensiones pequeñas, ayudándonos a conjeturar resultados. A continuación, demostramos dichos resultados por inducción sobre la dimensión del álgebra.