(co) homología de módulos precruzados

Abstract

Los módulos precruzados son unos objetos algebráicos que han sido utilizados en diversos campos de las matemáticas, bajo diferentes formas, a lo largo de las últimas décadas, Proporcionan una generalización simultánea de varios conceptos de la teoría de grupos: subgrupo normal, G-grupo, homomorfismo de grupos, etc, .., y juegan un papel importante en diversas áreas, como la Homología y Cohomología de Grupos, la Teoría de Homotopía, la Teoría de Grafos, la K-Teoría Algebraica, etc .. El objetivo principal de la tesis es el desarrollo de una teoría de homología y cohomología en la categoría de los módulos precruzados, como herramienta de trabajo manejable para su estudio. Se dota a la categoría de los módulos precruzados, de invariantes de homología y cohomología, como particularización de la teoría general de homología de cotriple de Barr y Beck. Previamente se comprueba que la categoría de los módulos precruzados es una categoría algebraica, esto es, que existe un funtor de olvido tripleable desde la categoría de los módulos precruzados en la categoría de conjuntos. Se obtiene un cotriple libre, y se deriva el funtor abelianización para obtener la homología, y los funtores de homomorfismo para obtener la cohomología con coeficientes en un módulo precruzado abeliano. Los resultados obtenidos acerca de los módulos precruzados han sido puestos en relación con nociones de grupos obtenidas desde un punto de vista absoluto o relativo. En concreto, la homología relativa de grupos, las extensiones relativas centrales universales de Loday, o los grupos relativos de K-Teoría Algebraica de Stein, aparecen a menudo en la primera componente de los módulos precruzados, así como en la segunda componente suelen aparecer, por tanto, una buena herramienta para compaginar simultáneamente resultados relativos y absolutos de la Teoría de Grupos. El capítulo 1 está dedicado al estudio de las características f