Set estimation under convexity type restrictions

Resumo

La estimación de conjuntos tiene por objetivo aproximar un conjunto a partir de observaciones aleatorias cuya distribución está relacionada de algún modo con el conjunto de interés, Así, el objeto que tiene interés estadístico no es un parámetro poblacional o una función relacionada con la distribución de las observaciones disponibles (como la densidad) sino un conjunto como puede ser el soporte de probabilidad o un conjunto de nivel. En los últimos años se han venido desarrollando diversos métodos para estimar conjuntos, o características geométricas de los mismos, bajo hipótesis de forma mínimas. Véase, por ejemplo, Cuevas y Rodríguez Casal (2004) o Cuevas, Fraiman y Rodríguez Casal (2007). Sin embargo, es conocido (Dümbgen y Walther 1996) que las tasas de convergencia óptimas para la estimación de un soporte de probabilidad convexo cuya frontera verifique ciertas condiciones de suavidad son mejores que en el caso general. El problema principal de estas técnicas es que la hipótesis de convexidad puede ser muy poco realista en situaciones propias del análisis de imágenes. Por tanto, sería deseable disponer de métodos eficientes como los propuestos en Dümbgen y Walther (1996) en situaciones más generales. Un primer paso en esta línea fue dado en Rodríguez-Casal (2007) donde se prueba que la mejora obtenida para conjuntos convexos suaves también se puede conseguir para una clase de conjuntos más amplia. La condición de forma utilizada en ese artículo, denominada alfa-convexidad, relaja la condición de convexidad permitiendo la existencia de zonas cóncavas en la frontera del conjunto de interés, siempre que estas zonas no sean irregulares. En la tesis "Set estimation under convexity type restrictions" se abordan diversos problemas, tanto de tipo teórico como práctico, relacionados con la estimación de conjuntos alfa-convexos. Así, en el Capítulo 2 de la tesis se estudia el problema de la estimación de un soporte alfa-convexo. Formalmente, el problema de estimación del soporte se establece como el problema de aproximar el soporte de una distribución de probabilidad absolutamente continua, a partir de la observación de una muestra aleatoria simple de dicha distribución. Si se supone alfa-convexidad, entonces el estimador natural es la envoltura alfa-convexa de la muestra. En otras situaciones el objeto de interés no es sólo un conjunto sino cierta característica geométrica del mismo como, por ejemplo, el área superficial o el volumen. En el Capítulo 3 se aborda el problema de la estimación del área superficial de un conjunto, de nuevo bajo condiciones de alfa-convexidad. Una vez estudiadas las propiedades teóricas de diferentes estimadores del soporte y el área superficial de un conjunto, el Capítulo 4 se centra en cómo se puede llevar a cabo el análisis práctico de dichos problemas. El cálculo de la envoltura alfa-convexa de una muestra no es un problema de solución inmediata y, por este motivo, parte del Capítulo 4 está dedicada a la descripción de la implementación en R del algoritmo propuesto por Edelsbrunner (1983). Además de la envoltura alfa-convexa, se ha programado el estimador de la longitud de la frontera propuesto en el Capítulo 3 para el caso particular del espacio euclídeo bidimensional y se ilustra el problema de estimación del área superficial mediante un estudio de simulación. Además, a la vista de los resultados obtenidos, se plantea una solución alternativa al problema de la estimación del área superficial. Dada la envoltura alfa-convexa de una muestra, se puede calcular su perímetro sumando las longitudes de los arcos que conforman su frontera. De forma análoga, se consideran otros estimadores como, por ejemplo, el alfa-shape, que es un objeto geométrico sencillo y capaz de recuperar la frontera de un conjunto. En resumen, con este trabajo se intenta mostrar que los métodos de estimación de conjuntos alfa-convexos son aplicables en la práctica y son más eficientes en la estimación de conjuntos alfa-convexos que los métodos más generales.