Módulos cruzados de álgebras conmutativas, homología y hap

Abstract

En esta tesis se estudia la categoría de módulos cruzados de álgebras conmutativas, la cual generaliza al mismo tiempo dos estructuras diferentes, la de álgebra conmutativa y la de módulo, En el primer capítulo se dan las nociones básicas y se construyen algunos límites. Además, se muestran varias propiedades de la categoría, por ejemplo, se prueba que es semiabeliana y también que es tripleable (hecho fundamental para poder construir una teoría de (co)homología), es decir, se da una adjunción entre Módulos cruzados y Set. A continuación, se estudia en profundidad el carácter no equilibrado de la categoría y se dan varias definiciones equivalentes a la de módulo cruzado, que serán de gran utilidad para, posteriormente, poder manejar con más facilidad diversos conceptos. En el segundo capítulo se definen varias construcciones relacionadas con la categoría: el actor de un módulo cruzado, los módulos cruzados singulares, el conmutador, el producto tensor, el producto semidirecto, la categoría de (C,R,f)-módulos y las derivaciones. Además, se estudian las propiedades de dichos objetos, relacionándolos entre sí y con sus análogos en la categoría de álgebras conmutativas. En el tercer capítulo se desarrolla una teoría de (co)homología de módulos cruzados, y se estudian sus propiedades obteniendo algunos resultados de interés. También se tratan las extensiones de módulos cruzados, se relacionan éstas con la cohomología definida y se dan dos sucesiones exactas relativas a las diferenciales. Finalmente, se identifica la (co)homología de ciertos módulos cruzados, los módulos cruzados asféricos, con una clase particular de (co)homología relativa de álgebras. En el último capítulo se hacen cálculos efectivos de homología de grupos nilpotentes libres por medio de su álgebra de Lie asociada. Se observa que este método es más rápido y menos exigente, con respecto a los recursos computacionales que se necesitan, que el que