Problemas de contacto en elasticidad dinámica con XFEM

Resumo

En esta memoria se han presentado resultados relativos al análisis, modelado matemático y simulación numérica de diversos problemas de contacto dinámicos. En particular, se consideraron dos problemas: un problema dinámico de contacto con sólido rígido sin fricción, y un problema de contacto entre los labios de una grieta en una placa, considerando en ambos casos condiciones de Signorini en la frontera de contacto. Para el problema dinámico de contacto con sólido rígido sin fricción, la existencia y unicidad de solución es un problema abierto. Hemos demostrado la existencia de una solución del problema en un sentido débil, es decir, se verifican todas las ecuaciones el sentido de las distribuciones salvo la condición de compatibilidad que se cumple en el interior del complementario (respecto a la frontera del dominio) de un conjunto de medida menor que delta, para cualquier delta mayor que cero. En la resolución numérica de este problema, se ha utilizado una discretización en tiempo mediante un método implícito de la familia de los métodos de Newmark, cuyos parámetros se han escogido de modo que el método sea incondicionalmente estable, mientras que la discretización en espacio se ha realizado utilizando el método de elementos finitos clásico. Para el tratamiento de las condiciones de Signorini se utilizó un multiplicador de Lagrange que permite obtener una formulación como ecuación variacional mediante técnicas de subdiferenciabilidad y operadores maximales monótonos. Para acelerar la convergencia del algoritmo de contacto se modificó éste utilizando una técnica de Newton generalizado, que permite alcanzar convergencia en menos de 10 iteraciones en la mayoría de los casos. La eficiencia del algoritmo se puso a prueba resolviendo un problema simple con solución conocida, variando las condiciones de contorno y los parámetros del problema, obteniendo en todos los casos una buena aproximación de la solución. Previo al estudio del problema de contacto en una placa con grieta, se plantearon los modelos matemáticos que rigen la vibración por ondas de Rayleigh de un sólido elástico tridimensional semi-infinito sin fisura, de donde se obtuvieron los datos del modelo asociado a una onda de Rayleigh, que fueron utilizados para imponer las condiciones de contorno de los problemas con y sin grieta sobre dominios acotados. Debido a la incompatibilidad de la condición de contorno asociada a una onda de Rayleigh con una condición inicial de reposo, se desarrolló una técnica de descomposición del problema que permite la simulación de la propagación de la onda de Rayleigh partiendo de una placa en reposo. En el caso de la placa sin grieta se tuvo acceso a resultados experimentales, de modo que se realizó la comparación entre la simulación numérica de la propagación de cinco ciclos de onda de Rayleigh con amplitud variable, y las mediciones experimentales proporcionadas por el grupo de Metrología Óptica del Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Vigo. La variación de la amplitud que presentan las ondas experimentales se aproximó por una envolvente gaussiana cuyos parámetros se extrajeron de los datos experimentales. Se consideraron distintas variantes de las condiciones iniciales, y los resultados obtenidos con todas ellas reprodujeron las mismas soluciones. Los errores relativos obtenidos fueron, a lo sumo, del cinco por ciento siendo en la mayoría de los casos menor del tres por ciento, con lo que se valida la simulación numérica de este problema. De este trabajo se obtuvo también un procedimiento para la determinación de los parámetros de Lamé del material, puesto que las velocidades de las ondas longitudinales y transversales dependen únicamente de las características del material. El problema con grieta se resolvió considerando dos métodos de elementos finitos para la discretización en espacio, en método FEM clásico y el método de elementos finitos extendidos, XFEM, más reciente. En ambos casos, las condiciones de contacto de Signorini se adaptaron a los saltos de los desplazamientos en los puntos de la grieta. En el primer caso, la malla ha de adaptarse a la geometría de la grieta y ésta se representa por una colección de nodos dobles. Se estudiaron las trayectorias de un punto cerca de la superficie, comparándose la trayectoria teórica, la trayectoria en una la placa sin grieta y con grieta. En este último caso se apreció la perturbación de la forma elíptica en la trayectoria, lo que sirve como indicador de la presencia de una grieta en la estructura. Además, se compararon los desplazamientos experimentados por los puntos de la superficie en distintos instantes de tiempo tanto en el caso teórico, como en los casos con y sin grieta. Se comprobó que antes de que la onda alcanzase la grieta no presentan diferencias sustanciales, mientras que una vez que la onda ha superado la grieta los efectos de la reflexión y la refracción son evidentes en la amplitud de las ondas. Desafortunadamente, no dispusimos de datos experimentales con los que comparar los resultados numéricos como se hizo en el caso sin grieta. La utilización de los elementos finitos extendidos, XFEM, permite no sólo utilizar mallas para el dominio independientes de la grieta, sino también obtener una mejor aproximación de las tensiones en la zona cercana al vértice, al añadir a la base del espacio de aproximación ciertas funciones de base que permiten capturar la singularidad. Para obtener dichas funciones, se dedujo la expresión de las tensiones cerca del vértice de la grieta, en el caso de una grieta que avanza con velocidad no nula, utilizando un método directo de resolución y, tras probar que dicho método no conduce a una solución no trivial para el caso de una grieta estática, se utilizó un método inverso mediante la función de Airy para obtener la expresión de las tensiones en el entorno del vértice de una grieta estable. Para representar la discontinuidad de los desplazamientos en la grieta se consideran funciones de salto de Heaviside que se añaden a la base estándar en los elementos cortados por la grieta. Se presentó la metodología seguida en la implementación de los XFEM, con especial hincapié en las técnicas destinadas a evitar la casuística que presenta el método, tanto en la integración numérica sobre elementos cortados por la grieta, como en el ensamblado de las matrices elementales, puesto que el número de grados de libertad varía de un elemento a otro. Para abordar la integración numérica se realizó una representación baricéntrica de los puntos de corte de la grieta con las aristas de los elementos lo que genera una subdivisión del triángulo que permite adaptar, automáticamente, cualquier regla de cuadratura. Las matrices elementales se construyeron por bloques, de modo que los productos entre funciones de forma estándar y del enriquecimiento estén bien diferenciados. Para el ensamblado, se construyeron matrices de conectividad y de ensamblado específicas para los distintos tipos de nodos y grados de libertad, de modo que se puedan combinar a la hora de ensamblar bloques que involucran distintos tipos de funciones de forma. Se comprobó la eficiencia del método de elementos finitos extendidos resolviendo los problemas asociados a los modos de fractura I y II y se compararon los resultados obtenidos con los elementos finitos estándar con los obtenidos utilizando XFEM. Se comprobó que el orden de aproximación en desplazamientos es el mismo, mientras que las tensiones se aproximan mejor con los XFEM, como era de esperar. La misma comprobación se realizó para el problema asociado a la propagación de ondas de Rayleigh sobre placas con grietas, obteniendo prácticamente los mismos desplazamientos en la superficie de la placa.