Funciones de Morse Discretas sobre complejos infinitos

Abstract

Esta memoria está dedicada a la extensión para complejos simpliciales infinitos de los conceptos y resultados de la teoría de Morse discreta ya estudiados en el caso finito. En un principio, dicho estudio se centrará en el caso de los 1-complejos infinitos, haciendo especial énfasis en las diferencias con el caso finito y desarrollándose una nueva versión de las desigualdades de Morse en este contexto. Asimismo, se usará la noción de flujo gradiente discreto para caracterizar el carácter crítico o no de aristas y vértices, resaltando que los caminos gradientes determinados por dicho flujo inducen una estructura de árbol en el 1-complejo considerado.Con el objetivo de ampliar este estudio a complejos de dimensión cualquiera, se usarán los diagramas de Hasse de tales complejos modificados por una función de Morse discreta, de modo que los problemas planteados puedan expresarse en términos de la teoría de grafos. De este modo y, partiendo del concepto de cancelación introducido por R. Forman, se establece la noción de función de Morse minimal y su obtención se consigue mediante transferencias destinadas a la obtención de emparejamientos maximales acíclicos en el diagrama de Hasse mencionado. La noción de campo gradiente se extiende de manera natural al caso infinito dando lugar al estudio de la integración de dichos campos. Se prueba un resultado que caracteriza los campos gradientes en el caso de 1-complejos infinitos.Por último, con idea de comenzar un estudio sistemático para 2-complejos infinitos, se desarrollará un método de definición de funciones de Morse discretas sobre superficies infinitas y se estudiarán con detalle algunos ejemplos que resaltan las diferencias con el caso unidimensional.