Higher categorical structures in algebraic topologyclassifying spaces and homotopy coherence

Resumo

Tras el reconocido artículo de Quillen [18] de 1973, la teoría de homotopía de estructuras categóricas se ha convertido en una parte importante de la maquinaria para el desarrollo de la topología algebraica y la K-teoría algebraica. Esta tesis contribuye al estudio de las relaciones existentes entre ciertas categorías superiores, los tipos de homotopía de sus espacios clasi¿cadores (también llamados realizaciones geométricas) y algunas construcciones homotópicas clásicas aplicadas a dichos tipos de homotopía. Las estructuras categóricas de dimensión superior son una herramienta poderosa para el estudio de diversas áreas de las matemáticas. Véase por ejemplo el libro recientemente publicado Toward Higher Categories [3], que sitúa adecuadamente el área encontexto. Además, dichas estructuras son aplicadas en otras áreas, tales como la física teórica o las ciencias de la computación, ya que aparecen en el estudio de las teorías de campos cuánticos topológicos (o TQFT por sus siglas en inglés, véase por ejemplo [2]), o más recientemente, sirven como punto de partida para el programa Univalent Foundations y su estudio de la teoría homotópica de tipos [19]. Esta tesis est¿a formada por cuatro capítulos principales en los que se presentan los resultados obtenidos. Se ha intentado que los capítulos puedan ser leídos independiente, aunque comparten gran parte de la nomenclatura utilizada. Quitando algunos cambios en la notación, realizados con el objetivo de uni¿car la presentación de la tesis, el Capítulo 1 ha sido publicado en la revista Applied Categorical Structures (2012) como [12], el Capítulo 2 en la revista Algebraic and Geometric Topology (2014) como [11], el Capítulo 3 en la revista Journal of Homotopy and Related Structures (2014) como [8] y el Capítulo 4 en la revista Theory and Applications of Categories (2015) como [13]. En el Capítulo 1, nos concentramos en ciertas categorías dobles que modelan los 2-tipos de homotopía. Una categoría doble (de¿nida por Ehresmann alrededor de 1963 [15, 16]) se puede interpretar como un conjunto de 'cuadrados' cuyos vértices son objetos, y cuyos lados son dos tipos de mor¿smos diferentes ¿uno vertical y otro horizontal¿ , junto con dos composiciones como en una categoría ¿una vertical y la otra horizontal- obedeciendo ciertas condiciones. Cualquier categoría doble (pequeñaa) admite una construcción conocida como su doble nervio, que puede ser transformada en un conjunto simplicial y por lo tanto, en un espacio topológico. Dicho espacio es llamado su realización geométrica o espacio clasi¿cador. El conjunto simplicial así obtenido no es un complejo de Kan, y por ello es complicado trabajar con él. A pesar de esto, una condición necesaria y su¿ciente para que una categoría doble produzca de esta forma un complejo de Kan es muy sencilla de formular: tiene que ser un grupoide doble que satisfaga una condición de relleno. Esta condición viene a decir que dados un par de mor¿smos, uno vertical y el otro horizontal, que tengan un vértice en común, podemos encontrar un cuadrado que tenga dichos mor¿smos en el borde. Este resultado puede verse como una versión bidimensional del conocido hecho de que el nervio de una categoría es un complejo de Kan si y sólo si la categoría es un grupoide. Un grupoide doble veri¿cando la condición de relleno tiene asociados una serie de grupos de homotopía, que pueden ser de¿nidos utilizando solamente su estructura algebraica y que son triviales cuando n ¿ 3. Así podemos hablar de la clase de equivalencias débiles entre tales grupoides dobles, y correspondientemente podemos de¿nir su categoría de homotopía asociada. El principal resultado del capítulo dice que el funtor realización geométrica induce una equivalencia entre la categoría de 2-tipos de homotopía (es decir, la categoría de homotopía de los espacios topológicos cuyos n-grupos de homotopía en cualquier punto son triviales para n ¿ 3). Un funtor cuasi-inverso es dado de forma explícita a través de una nueva contrucción grupoide doble de homotopía para espacios topológicos. El Capítulo 2 se centra en el estudio de las tricategorías pequeñas, introducidas por Gordon, Power y Street en su artículo en AMS Memoir de 1995 [17]. En dicho artículo eran conscientes de que 3-grupoides estrictos no modelan 3-tipos de homotopía, y el objetivo de su trabajo era dar una de¿nición explícita de una 3-categoría débil que no fuera equivalente (en el sentido tridimensional adecuado) a una 3-categoría estricta. Los resultados presentados en este capítulo se centran en el estudio de espacios clasi¿cadores de tricategorías (pequeñas), con aplicaciones en la teoría de homotopía de categorías monoidales, bicategorías, categorías monoidales trenzadas y bicategorías monoidales. Cualquier tricategoría tiene asociada varios objetos simpliciales o pseudo-simpliciales, y exploramos la relación entre tres de ellos: la bicategoría pseudo-simplicial llamada nervio de Grothendieck, la bicategoría simplicial nervio de Segal, y el conjunto simplicial llamado nervio geométrico de Street. El principal resultado del capítulo se resume en que la realización geométrica de todos estos 'nervios de la tricategoría' son homotópicamente equivalentes, y por lo tanto podemos usar cualquiera de ellos como el espacio clasi¿cador de la tricategoría. Estos nervios han sido usados recientemente por Buckley, Garner, Lack y Street en su trabajo sobre categorías skew-monoidales [7]. El nervio de Grothendieck sirve como una generalización del triple nervio asociado a una 3-categoría estricta. El nervio de Segal nos permite demostrar, bajo condiciones naturales, que el espacio clasificador de una bicategoría monoidal es, de un modo preciso, un espacio de lazos. Finalmente, con el nervio geométrico de Street, obtenemos conjuntos simpliciales cuyos símplices tienen una descripción geométrica agradable en función de las celdas de la tricategoría, y podemos precisar en que forma la construcción del espacio clasificador transforma coherencia tricategórica en coherencia homotópica. Además provamos, usando esta construcción, que los grupos bicategóricos son un modelo algebraico adecuado de las 3-tipos de homotopía conexos por arcos, es decir, cuyos n-grupos de homotopía son triviales para n ¿ 4. En los Capítulos 3 y 4 pasamos de modelar tipos de homotopía a utilizar estos modelos algebraicos en construcciones homotópicas que se suelen realizar con dichos tipos. Concretamente nos centraremos en cuadrados homotópicamente cartesianos. Los límites y colímites categóricos, incluyendo los cuadrados cartesianos, son una herramienta muy poderosa en teoría de categorías, con innumerables aplicaciones. Desgraciadamente, se comportan muy mal en términos de la teoría de homotopía, esto es, si reemplazamos nuestro diagrama original por uno homotópicamente equivalente a él, los límites (o colímites) correspondientes no son necesariamente homotópicamente equivalentes. Ese es el motivo por el que se estudian límites y colímites homotópicos. Los Teoremas A y B (probados por Quillen [18]) son el punto de partida con los que Quillen dio una descripción homotópico-teórica de la K-teoría algebraica superior, y ahora son dos de los teoremas más importantes en los fundamentos de la teoría de homotopía. El Capítulo 3 de la tesis se centra en la generalización de dichos teoremas a funtores laxos entre bicategorías (de¿nidas por Bénabou alrededor de 1967 [5]), que incluyen tanto a categorías monoidales como a 2-categorías. En nuestros teoremas utilizamos una construcción de bicategorías fibras homotópicas para un funtor laxo entre bicategorías. Esto es una sencilla imitación de la construcción de fibras homotópicas de aplicaciones continuas entre espacios, dicha imitación es, a pesar de todo, sutil. De hecho, provamos que bajo condiciones necesarias naturales, el espacio clasificador de cada bicategoría fibra homotópica es equivalente homotópicamente a la fibra homotópica de la aplicación continua inducida en espacios clasificadores por el funtor laxo (Teorema B). En particular, cuando todas las bicategorías fibras homotópicas son contráctiles, el la aplicación continua inducida es una equivalencia homotópica (Teorema A). Debemos resaltar que el proceso de tomar bicategorías fibras homotópicas de funtores laxos es más complicado que en el caso de funtores entre categorías, ya que nos vemos obligados a trabajar con bidiagramas laxos de bicategorías, con la forma de una bicategoría dada. Estos bidiagramas son un tipo de trihomomorfismos desde la bicategoría dada a la tricategoría de bicategorías. Un construcción de Grothendieck para tales bidiagramas nos lleva a demostrar una versión en dimensión superior del Lema Homotópico de Quillen [18] que, al igual que ocurre con funtores entre categorías, es un resultado clave para nuestros objetivos. Yendo un paso más allá, en el Capítulo 4 tratamos cuadrados homotópicamente cartesianos en general. Dados un funtor laxo y un funtor oplaxo entre bicategorías con el mismo codominio construimos una bicategoría producto homotópicamente ¿brado y demostramos que, bajo condiciones necesarias razonables, el espacio clasificador de esta bicategoría es homotópicamente equivalente al espacio producto homotópicamente fibrado de las aplicaciones continuas inducidas por el espacio clasificador. Nuestro principal resultado generaliza el Teorema B del Capítulo 3 y extiende de forma similar resultados recientes sobre diagramas de categorías debidos a Cisinski (2006) [14], y Barwick y Kan (2011) [4]. Además, la categoría de 2-categorías (estrictas) y 2-funtores tiene una estructura de modelos de tipo Thomason, tal y como anunciaron Worytkiewicz, Hess, Parent y Tonks (2007) en [20] y demostraron Ara y Maltsiniotis (2014) en [1], tal que el funtor espacio clasi¿cador induce una equivalencia en las teorías de homotopía entre 2-categorías y espacios topológicos. Así, al restringir nuestros resultados a 2-categorías, encontramos una interpretación natural de nuestra construcción como un cuadrado homotópicamente cartesiano en la estructura de modelos de Thomason. De la misma forma, gracias a la equivalencia entre la categoría de módulos cruzados (sobre grupoides) y la categoría de 2-grupoides, podemos aplicarlos también en términos de la estructura de modelos para complejos cruzados de¿nida por Brown y Golasinski (1989) [6]. Y también, dado que una categoría monoidal puede ser vista como una bicategoría con un único objeto, nuestros resultados se aplican a categorías monoidales. El Capítulo 4 también incluye algunos resultados nuevos relativos a espacios clasi¿cadores de bicategorías, que son necesarios en este estudio para obtener los resultados principales del capítulo. El desarrollo del mismo es un gran ejemplo de cuán útil resulta establecer la relación entre los diferentes nervios, en este caso para bicategorías, para poder trabajar al mismo tiempo con funtores laxos y oplaxos. El nervio geométrico de Street de una bicategoría es normalmente el más sencillo para trabajar, pero solamente es funtorial respecto a funtores laxos. También hay un nervio op-geométrico que es funtorial respecto a funtores oplaxos. En el Apéndice del Capítulo 4 completamos el trabajo de Carrasco, Cegarra y Garzón [9] demostrando nuevos resultados de naturalidad para la comparación entre los nervios de bicategorías. Estos resultados siguen ideas similares a las usadas en el Capítulo 2 para el estudio de los nervios de tricategorías. Referencias [1] D. Ara y G. Maltsiniotis. "Vers une structure de catégorie de modèles à la Thomason sur la catégorie des n-catégories strictes". En: Adv. Math 259 (2014), págs. 557-640. [2] J. C. Baez y J. Dolan. "Higher-dimensional algebra and topological quantum ¿eld theory". En: J. Math. Phys. 36.11 (1995), págs. 6073-6105. [3] J. C. Baez y P. May, eds. Towards Higher Categories. Vol. 152. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Berlin: Springer, 2010. [4] C. Barwick y D. M. Kan. A Quillen theorem Bn for homotopy pullbacks. 2011. arXiv: 1101.4879v1. [5] J. Bénabou. "Introduction to bicategories". En: Reports Midwest Categ. Semin. Vol. 47. Lecture Notes in Math. Springer Berlin Heidelberg, 1967, págs. 1-77. [6] R. Brown y M. Golasinski. "A model structure for the homotopy theory of crossed complexes". En: Cah. Topol. G¿eom. Di¿¿er. Cat¿eg. 30.1 (1989), págs. 61-82. [7] M. Buckley, R. Garner, S. Lack y R. Street. "The Catalan simplicial set". En: Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 158.2 (2015), págs. 211-222. [8] M. Calvo, A.M. Cegarra y B.A. Heredia. "Bicategorical homotopy ¿ber sequences". En: J. Homotopy Relat. Struct. (2014), págs. 125-173. [9] P. Carrasco, A. M. Cegarra y A. R. Garzón. "Nerves and classifying spaces for bicategories". En: Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), págs. 219-274. [10] P. Carrasco, A. M. Cegarra y A. R. Garzón. "Classifying spaces for braided monoidal categories and lax diagrams of bicategories". En: Adv. Math. 226.1 (2011), págs. 419-483. [11] A. M. Cegarra y B. A. Heredia. "Comparing geometric realizations of tricategories". En: Algebr. Geom. Topol. 14 (2014), págs. 1997-2064. [12] A. M. Cegarra, B. A. Heredia y J. Remedios. "Double groupoids and homotopy 2-types". En: Appl. Categor. Struct. 20 (2012), págs. 323-378. [13] A. M. Cegarra, B. A. Heredia y J. Remedios. "Bicategorical homotopy pullbacks". En: Theory Appl. Categ. 30.6 (2015), págs. 147-205. [14] D.-C. Cisinski. Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie. Vol. 308. Astérisque, 2006, págs. xxiv+390. [15] C. Ehresmann. "Catégories doubles et catégories structurées". En: C. R. Acad. Sci. Paris 256 (1963), págs. 1198-1201. [16] C. Ehresmann. "Catégories structurées". En: Ann. Sci. Ec. Norm. Super. 80 (1963), págs. 349-425. [17] R. Gordon, A.J. Power y R. Street. Coherence for tricategories. Vol. 117. 558. Mem. Amer. Math. Soc., 1995, págs. vi+81. [18] D. G. Quillen. Higher algebraic K-theory: I. Vol. 341. Lecture Notes in Math. Springer, 1973, págs. 85-147. [19] The Univalent Foundations Program. Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. Institute for Advanced Study: http://homotopytypetheory.org/book, 2013. [20] K. Worytkiewicz, K. Hess, P. E. Parent y A. Tonks. "A model structure à la Thomason on 2-Cat". En: J. Pure Appl. Algebr. 208.1 (2007), págs. 205-236.