Asymptotic derivation of models for anisotropic piezoelectric beams and shallow arches

Resumo

O estudo do fenómeno piezoeléctrico aumentou consideravelmente devido à crescente utilização dos materiais piezoeléctricos anisotrópicos em aplicações de engenharia. A presente tese tem como principais objectivos, a determinação e justificação assimptótica de modelos de vigas piezoeléctricas anisotrópicas, para, desta forma, generalizar a teoria de vigas elásticas propostas por Álvarez-Dios & Viaño [1993, 1996, 2003] e Trabucho & Via˜no [1996]. Os modelos desenvolvidos são baseados na teoria da piezoelectricidade linearizada para vigas feitas dum material piezoeléctrico anisotrópico, sujeitas a um potencial eléctrico que actua em dois tipos de fronteira. No tipo I, o potencial eléctrico é aplicado nas extremidades da viga e, no tipo II, a voltagem é induzida numa área lateral da viga. Tendo em vista a análise do comportamento da solução do problema piezoeléctrico, numa viga em que o comprimento é muito maior do que as dimensões da sua secção transversal e o diâmetro tende para zero, utiliza-se o método assimptótico, tomando-se o diâmetro da viga como pequeno parâmetro. Neste documento, começa-se por apresentar, de forma resumida, as equações tridimensionais que descrevem a piezoelectricidade linear num sólido: equações diferenciais parciais do acoplamento electromecânico; formulação forte e fraca. De seguida, expandindo a solução numa série assimptótica em função do pequeno parâmetro, obtemos uma série de problemas através dos quais se caracterizam alguns termos do desenvolvimento. Como resultado desta análise, propõe-se, nesta tese, os seguintes modelos para vigas piezoeléctricas anisotrópicas: • Modelo unidimensional para o problema electromecânico, definido numa viga cujo material piezoeléctrico pertence à classe 2, e em resposta a um potencial eléctrico induzido numa região do tipo I. A caracterização do segundo termo dos deslocamentos é essencial para a determinação deste modelo e para a demonstração da convergência forte. Estes cálculos encontram-se detalhados no Capítulo 3. • No Capítulo 4, é justificado um modelo para uma viga piezoeléctrica anisotrópica de classe 2 submetida a um potencial eléctrico numa área do tipo II. Demonstra-se ainda que, se a viga é feita de uma material piezoeléctrico pertencente `a classe de simetria 6mm, então o vector dos deslocamentos e o potencial eléctrico convergem fracamente para os primeiros termos dos respectivos desenvolvimentos. • Um modelo de primeira ordem para vigas, “debilmente” curvas, constituídas por material piezoeléctrico transversalmente isotrópico - classe 6mm - e com potencial eléctrico aplicado nos extremos da viga, é apresentado no Capítulo 5. A formulação mista, juntamente com o desenvolvimento do tipo deslocamento-potencial eléctrico-tensão-deslocamento eléctrico, mostrou ser uma solução eficaz na obtenção do respectivo modelo e na demonstração do resultado de convergência forte.